jueves, 17 de abril de 2008

Con tres cifras

Leemos en "Vitaminas matemáticas" de Claudi Alsina cuál es el número más grande que podemos obtener con sólo 3 cifras (y ningún signo de operación). ¿Cuál es?

¿Si usamos cifras iguales, será la misma "estructura" sea cuál sea la cifra?

¿Y cuál es el número más alto que podemos obtener con 3 cifras diferentes?

Actualización 18 de Abril: algunas imágenes para "entendernos" y aclarar dudas.

El número más grande que podemos obtener con sólo 3 cifras sería este:


Es decir 9 elevado al resultado de elevar 9 a 9, o sea, 9 elevado a 387.420.489, cuyo resultado, según el libro de Alsina, llegaría casi a los 370 millones de cifras.

Esta es la estructura óptima para tres cifras iguales, con la excepción de las tres cifras más bajas, en las que los números mayores serían:

¿Y con tres cifras diferentes? Aquí yo soy el primero al que el uso de la hoja de cálculo condujo al error. El número mayor que se puede formar con tres cifras diferentes, dado que 8^9 es mayor que 9^8, sería en mi opinión:

En cuanto a la Hoja de Cálculo, en mi opinión, la potencia funciona como un "operador", por lo que si escribimos =9^9^9, primero realiza 9^9 y después el resultado lo eleva al tercer 9 (es lo que he comprobado que también hace la calculadora científica).

Si queremos reproducir nuestra "estructura óptima" hay que utilizar un paréntesis para especificar lo que en papel se ve: que queremos elevar 9 al resultado de elevar 9 a 9.

20 comentarios:

qfwfq78 dijo...

No estoy seguro, pero sospecho que el truco es usar una operacion sin signo, la potencia.
Aunque para escribirlo aca tengo que recurrir a signos, se pueden obviar, escribiendolos "chiquitos arriba a la derecha".

9^9^9 = 1.96627E+77

Con igual numero la estructura, creo, será la misma, p ej:
8^8^8 = 6.2771E+57
7^7^7 = 2.56924E+41

Con cifras diferentes hay que priorizar los numeros más grandes para el exponente:

7^8^9 = 7^9^8 = 7.03168E+60

Bueno, no estoy seguro si era por aca que venian los tantos... saludos

Anónimo dijo...

Lo pongo en texto porque no puedo escribir formulas matemáticas.

9 elevado a (9 elevado a nueve).

Anónimo dijo...

La respuesta es: 999 y 987

Juan dijo...

999! es muchísimo mayor, ó 987! para cifras diferentes. El excel solo calcula hasta factorial de 170, y arroja un valor de 7,257E+306

Juan Luis dijo...

Pero con el factorial, Juan, ya usas un signo de operación...

Anónimo dijo...

Con igual número, la estructura sería la misma... pero no para todos los números...

1^1^1 < 111
2^2^2 < 222

Anónimo dijo...

Que pesados estáis con los los exponentes y los factores jaja
La respuesta más simple no puede ser...

Rodolfo dijo...

9^9^9 es mucho mayor que 999!, aunque puede que no sea esa tampoco la respuesta. Tampoco me resulta muy clara la pregunta.

Juan Luis dijo...

Sí, la respuesta correcta es 9^9^9, que "en papel" se puede escribir sin ningún signo de operación.

Y como dijo Qfwfq78 con tres cifras diferentes sería 7^8^9 = 7^9^8 (también escritas sin signos)

Ahora, con tres cifras iguales, la "estructura" de 9^9^9 no es la "óptima" para todas las posibles cifras. ¿Para cuáles no?

serra dijo...

Juan Luis,

Ya sabemos que el resultado es 9^9^9.

Ahora bien, dependiendo de donde pongamos los paréntesis tendremos distintos resultados.

(9^9)^9 < 9^(9^9)

guille dijo...

Eso de 7^8^9 = 7^9^8 está mal, ¿no? Se supone que los exponentes se agrupan por la derecha, por lo que 7^8^9 = 7^(8^9) que no es igual a 7^(9^8). Siguiendo esa norma (que es la que "en papel" no necesita paréntesis) 9^9^9 es mucho mayor de 1.96627E+77 (esto último es el resultado de 9^81).

Juan Luis dijo...

El Excel si considera igual 7^8^9 = 7^9^8, yo creo que lo interpreta como

(7^9)^8=(7^8)^9

Pero es verdad lo que decís de la versión "en papel" , voy a darle otar vuelta...

qfwfq78 dijo...

Pero poner parentesis ya es agregar signos!
Creo que no depende de como lo interprete excel, yo por lo que recuerdo es una propiedad de las potencias:

7^8^9 = 7^(8*9)

y como "el orden de los factores no altera el producto"

7^8^9 = 7^(8*9) = 7^(9*8) = 7^9^8

de igual modo
9^9^9 = 9^81

Pero claro, siempre sin usar parentesis...
81^9 < 9^81

qfwfq78 dijo...

me equivoque, la comparacion seria con 9^387420489.

Igual, si alguien sabe puede confirmar cual es el orden de operacion por default, cuando no hay parentesis? Como apuntan serra y guille es la clave.

Lucas_siglo21 dijo...

se puede obtener algo más grande con algo conocido como operador de knutt,
se define así:
A^(1)B =A^B= a*a*a(B veces)
A^(2)B = A^A^A(B veces)
A^(3)B = A^(2)A^(2)A(B veces)
etc..
de hecho 9^9^9 = 9^(2)3

el numero que se me ocurrió es:

9^(9)9

su dimensión es perturbadora, ni lo voy a calcular, 10 trillones de veces los atomos del universo sería una cantidad insignificante en comparación a ese número

más info:
http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth%27s_up-arrow_notation

intoku dijo...

Sale en una entrevista en La Contra de La Vanguardia de hoy!!

Saludos,
Intoku.

Juan Luis dijo...

Gracias, Intoku, he visto el comentario en http://www.lavanguardia.es/lv24h2007/20080918/53541044782.html
aunque no he podido acceder a la entrevista.

Juan José Soriano Vilar dijo...

El numero mas alto que se puede lograr con 3 cifras es e^999

Juan Luis dijo...

Es cierto, Juan José aunque al decir "con sólo tres cifras", estaríamos añadiendo algo más...

Anónimo dijo...

((999!)!)!
donde ! es factorial !! :D